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对于任何两个代表不同状态的态矢量|ψ〉及|φ〉（未归一化) 试证明下列Schwarz不等式： |〈ψ|φ〉|2＜〈ψ|ψ〉〈φ|φ〉

大学 不等式,矢量,状态 已帮助 人

对于任何两个代表不同状态的态矢量|ψ〉及|φ〉(未归一化)，试证明下列Schwarz不等式：

  |〈ψ|φ〉|2＜〈ψ|ψ〉〈φ|φ〉

热搜：必然王国和自由王国是两种不同的社会状态

答案解析

难度★★☆ 搜索

  • 令〈ψ|ψ〉=a(＞0)，〈φ|φ〉=b(＞0)，〈ψ|φ〉=c，并令
           (1)
       由于ψ、φ代表不同状态，所以|χ〉≠0，〈χ|χ〉＞0，即
       
       
       所以
       c*c＜ab    (2)
       亦即
       |〈ψ|φ〉|2＜〈ψ|ψ〉〈φ|φ〉    (3)
       证二  对于任何复数λ，显然有
       〈ψ-λφ|ψ-λφ〉＞0    (4)
       但因
       〈ψ-λφ|=〈ψ|-λ*〈φ|
       代入上式，即得
       〈ψ|ψ〉+λ*λ〈φ|φ〉-λ*(ψ|φ〉-λ*〈φ|ψ〉＞0    (5)
       令
       ，    (6)
       代入式(5)，并以〈φ|φ〉乘各项(注意〈φ|φ〉＞0)，即得
       〈ψ|ψ〉〈φ|φ〉-〈ψ|φ〉〈φ|ψ〉＞0
       此即式(3)．