证明：整数环上的多项式环Z[x]是一个惟一分解整环．
多项式,整数,分解
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正确答案：Z[x]的单位显然只有±1．又其不可约元为全体(正、负)素数以及次数大于0的本原不可约(在Z上)多项式．今在Z[x]中任取f(x)≠0±1．显然f(x)可惟一表示成 f(x)=ag(x) (a∈Z．g(x)为本原多项式)(1) 其中g(x)的最高系数为正整数． 若f(x)是本原的则由高等代数知f(x)可惟一分解成不可约多项式之积；若f(x)不是本原的则由(1)a可惟一分解为素数之积而g(x)可惟一分解为Z上不可约多项式之积(最多有符号差异)．从而f(x)可惟一分解为Z[x]内不可约元之积．因此Z[x]是惟一分解整环．
Z[x]的单位显然只有±1．又其不可约元为全体(正、负)素数以及次数大于0的本原不可约(在Z上)多项式．今在Z[x]中任取f(x)≠0,±1．显然f(x)可惟一表示成f(x)=ag(x)(a∈Z．g(x)为本原多项式),(1)其中g(x)的最高系数为正整数．若f(x)是本原的,则由高等代数知,f(x)可惟一分解成不可约多项式之积；若f(x)不是本原的,则由(1),a可惟一分解为素数之积,而g(x)可惟一分解为Z上不可约多项式之积(最多有符号差异)．从而f(x)可惟一分解为Z[x]内不可约元之积．因此,Z[x]是惟一分解整环．