试用最小势能原理推导弹性力学薄板小挠度弯曲的平衡微分方程与静力边界条件。

1．等厚度薄板小挠度弯曲的应变能。
   根据薄板小挠度弯曲的直法线假设，应变分量εz、γzy、γzx可以不计，因此，薄板小挠度弯曲的应变能为：
   (1)
   将薄板弯曲问题中的应力、应变分量表达式(用挠度表示)代入式(1)中，可得：
   (2)
   将式(2)等号右边对z从-h/2到h/2积分，可得弹性薄板弯曲的应变能表达式：
   (3)
   式中：D为薄板的抗弯刚度。
   2．等厚度薄板小挠度弯曲的外力功：
   (4)
   3．弹性系统的总势能：
   (5)
   根据最小势能原理，即δEp=0，式(5)变为：
   (6)
   考虑矩形薄板，设其边界长度分别为a和b，则x=0，x=a，y=0，y=b为矩
   形薄板的四个边界。从而，各项分部积分后可得：
   
   将以上结果代入式(6)中，考虑到等都是满足边界条件的任意小量，因此，只有当下列各式满足时，即：
   (7)
   (8)
   (9)
   (10)式(6)才能恒成立。
   考虑到变分δω的任意性，式(7)成立必须有：
   (11)
   式(11)就是弹性薄板小挠度弯曲的基本微分方程。
   式(8)～式(10)给出了薄板弯曲的边界条件和角点条件。其中，式(8)给出了边界x=0和x=a的条件，式(9)给出了边界y=0和y=b的条件，而式(10)则给出了四个角点的条件。
   例如，对于边界x=0，由式(8)可知：
   (12)
   (1)若边界x=0为固定边，则有故沿此边界上有：
   (13)
   从而，式(12)是自动满足的。因此，对于固定边界x=0，没有静力边界条件，只有位移边界条件
   (2)若边界x=0为简支边，则有
   故沿此边界上有：
   (13)(14)
   因而，由式(12)可知：
   (15)
   式(15)就是沿简支边的弯矩为零的条件(即静力边界条件)；而沿简支边的应移边界条件为(ω)x=0=0。
   (3)若边界x=0为自由边，则有，故沿此边界上有：
   (16)
   因而，由式(12)可知：
   (17)
   式(17)就是沿自由边时弯矩和总的分布剪力为零时的条件(即静力边界条件)，而没有位移边界条件。
   对于角点条件，以角点B(a，b)为例，由式(10)可知：
   (18)
   (1)若角点B(a，b)是被支承的，则有ω(a，b)=0，故在角点B处有：
   δω(a,b)=0(19)
   从而，式(18)是自动满足的。因此，对于有支承的角点B，没有静力边界条件，只有位移边界条件(ω)x=a,y=b=0。
   (2)若角点B(a，b)是悬空的，则有ω(a，b)≠0，故在角点B处有：
   δω(a,b)≠0    (20)
   因而，由式(18)可知：
   (21)
   式(21)就是悬空角点B的静力条件。(1)上述过程证明了弹性薄板小挠度弯曲的静力等效边界条件(即边界上的扭矩应变换为静力等效的横向剪力，再将它与原来的横向剪力合并成总的分布剪力来处理)的合理性，进而解决了多年的争论问题。
   (2)等厚度薄板小挠度弯曲的应变能公式(3)，对于全部边界固定的任意形状板，
   以及全部边界上ω=0的矩形薄板(即薄板没有自由边)，应变能公式可以简化为：
   (3)
   证明如下：
   
   式中：l、m分别为整个边界Γ外法线的方向余弦。
   对于全部边界固定的任意形状板，在边界上；对于全部边界ω=0的矩形薄板，沿y等于常数的边界，有沿x等于常数的边界，有。因此，上式中等号右边的两个回路积分项全为零，于是有：
   
   再将上式代入式(3)中即可得证。