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设G={[1] [2] [3] [4] [5] [6]} G上的二元运算×7如表5－36所示．（G ×7)是循环群吗？若是 请找出它的生成元．

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设G={[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]}，G上的二元运算×7如表5-36所示．(G，×7)是循环群吗？若是，请找出它的生成元．

  

表5-36

×7[1][2][3][4][5][6]
[1][1][2][3][4][5][6]
[2][2][4][6][1][3][5]
[3][3][6][2][5][1][4]
[4][4][1][5][2][6][3]
[5][5][3][1][6][4][2]
[6][6][5][4][3][2][1]

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答案解析

难度★★☆ 搜索

  • 显然，(G，×7)是封闭的，具有结合律．[1]为它的单位元，[2]与[4]、[3]与[5]互为逆元，[6]的逆元是[6]．故(G，×7)是群．
       通过观察可知：
       [3]2=[3]×7[3]=[2]，[3]3=[3]×7[3]2=[3]×7[2]=[6]，
       [3]4=[3]×7[3]3=[3]×7[6]=[4]，[3]5=[3]×7[3]4=[3]×7[4]=[5]，
       [3]6=[3]×7[3]5=[3]5×7[5]=[1]，
       所以，[3]是群(G，×7)的生成元．