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证明二次锥面ax2＋by2＋cz2=0上任意一点的切平面通过原点．

大学 2020-01-01 02:52:45 锥面,原点,平面已帮助人

证明二次锥面ax²+by²+cz²=0上任意一点的切平面通过原点．

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答案解析

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[证明] 设(x0，y0，z0)为二次锥面上的不是原点的点，由于
F1(x,y,z)≡ax,F2(x,y,z)≡by,F3(x,y,z)≡cz,
所以过(x0，y0，z0)的切平面为
(x-x0)ax0+(y-y0)by0+(z-z0)cz0=0,
即ax0x+by0y+cz0z-(ax02+by02+cz02)=0,
因为(x0，y0，z0)在二次锥面上，所以ax02+by02+cz02=0，
所以切平面为
ax0x+by0y+cz0z=0.
此平面显然通过原点，从而命题得证．