求下列二次曲面的主方向与主径面 （1)2x2＋2y2－5z2＋2xy－2x－4y－4z＋2=0; （2)x2＋y2－3z2－2xy－6xz－6yz＋2x＋2y＋4z=

(1)曲面的矩阵为
   
   Φ1(X，Y，Z)=2X+Y，
   Φ2 (X，Y，Z)=X+2Y，
   Φ3(X,Y,Z)=-5Z,
   Φ4(X，Y，Z)=-X=2Y-2Z,
   I1=2+2-5=-1，
   
   
   二次曲面的特征方程为
  -λ3-λ2+17λ-15=0，
   即(λ-1)(λ-3)(λ+5)=0．
   得特征根λ=1，3，-5．
   1°与特征根λ=1对应的主方向X1:Y1:Z1由方程组
   
   决定，所以X1:Y1:Z1=1:(-1):0，
   而Φ1(1，-1，0)=1，Φ2(1，1，0)=-1，Φ3(1，-1，0)=0，Φ4(1，-1，0)=1，
   所以共轭于这个方向的主径面为
   x-y+1=0．
   2°由特征根λ=3对应的主方向X2:Y2:Z2由方程组．
   决定，所以X2:Y2:Z2=1:1:0，
   而Φ1(1，1，0)=3，Φ2(1，1，0)=3，Φ3(1，1，0)=0，Φ4(1，1，0)=-3，
   所以共轭于这个方向的主径面为
   3x+3y-3=0，
   即x+y-1=0．
   3°由特征根λ=-5对应的主方向X3:Y3:Z3由方程组
   
   决定，所以X3:Y3:Z3=0:0:1，
   而
   Φ1(0，0，1)=0，Φ2(0，0，1)=0，Φ3(0，0，1)=-5，Φ4(0，0，1)=-2，
   所以共轭于这个方向的主径面为
  -5z-2=0即5z+2=0；
   (2)二次曲面的矩阵为
   
   Φ1(X，Y，Z)=X-Y-3Z，
   Φ2(X，Y，Z)=-X-Y-3Z，
   Φ3(X，Y，Z)=-3X-3Y-3Z，
   Φ4(X，Y，Z)=X+Y+2Z，
   I1=1+1-3=-1，
   
   二次曲面的特征方程为
  -λ3-λ2+24λ-36=0，
   即(λ-2)(λ-3)(λ+6)=0，
   得特征根λ=-6，2，3．
   1°由特征根λ=-6对应的主方向X1:Y1:Z1由方程组
   决定，所以X1:Y1:Z1=1:1:2，
   而Φ1(1，1，2)=-6，Φ2(1，1，2)=-6，Φ3(1，1,2)=-12，Φ4(1，1，2)=6，
   所以共轭于这个方向的主径面为
   -6x-6y+12z+6=0．
   即x+y+2z-1=0
   2°由特征根λ=2对应的主方向X2:Y2:Z2由方程组
   决定，所以X2:Y2:Z2=1:(-1):0，
   而Φ1(1，-1,0)=2，Φ2(1，-1，0)=-2，Φ3(1，-1，0)=0，Φ4(1，-1，0)=0，
   所以共轭于这个方向的主径面为
   2x-2y=0即x-y=0.
   3°由特征根λ=3对应的主方向X3:Y3:Z3由方程组
   决定，所以X3:Y3:Z3=1:1:(-1)，
   而Φ1(1，1，-1)=3，Φ2(1，1，-1)=3，Φ3(1，1，-1)=-3，Φ4(1，1，-1)=0，
   所以共轭于这个方向的主径面为
   3x+3y-3z=0即x+y-z=0；
   (3)二次曲面的矩阵为
   
   Φ1(X，Y，Z)=2X+6Y，
   Φ2(X，Y，Z)=6X+10Y+4Z，
   Φ3(X，Y，Z)=4Y-2Z，
   Φ4(X，Y，Z)=6Y+2Y+4Z，
   I1=2+10-2=10，
   
   
   二次曲面的特征方程为
  -λ3+10λ2+56λ=0，
   得特征根λ=0，-4，14.
   1°由特征根λ=0所对应的主方向X1:Y1:Z1由方程组
   决定，所以X1:Y1:Z1=-3:1:2，
   此方向为二次曲面的奇向．
   2°由特征根λ=-4对应的主方向X2:Y2:Z2由方程组
   决定，所以X2:Y2:Z2=1:(-1):2，
   而Φ1(1,-1,2)=4,Φ2(1,-1,2)=4，Φ3(1,-1,2)=-8,Φ4(1,-1,2)=12,
   所以共轭于这个方向的主径面为
  -4x+4y-8z+12=0，
   即x-y+2z-3=0．
   3°由特征根λ=14对应的主方向X3:Y3:Z3由方程组
   决定，所以X3:Y3:Z3=2:4:1，
   而Φ1(2，4，1)=28，Φ2(2，4，1)=56，Φ3(2，4，1)=14，Φ4(2，4，1)=24，
   所以共轭于这个方向的主径面为
   28x+56y+14z+24=0，
   即14x+28y+7z+12=0；
   (4)二次曲面的矩阵为
   
   Φ1(X,Y，Z)=X-Y，
   Φ2(X，Y,Z)=-X+Y，
   Φ3(X，Y，Z)=0
   Φ4(X,Y,Z)=X-2Y-Z,
   二次曲面的特征方程为-λ3+2λ2=0，
   得特征根λ=0(二重)，2
   1°特特根λ=0(二重)对应的主方向X1:Y1由方程组
   决定，所以X1:Y1:Z1=1:1:t，
   t为任意实数，这些主方向都是奇向．
   2°由特征根λ=2对应的方向X2:Y2:Z2由方程组
   决定，所以X2:Y2:Z2=1:(-1):0，
   而Φ1(1，-1，0)=0，Φ2(1，-1，0)=-2，Φ3(1，-1，0)=0，Φ4(1，-1，0)=3，
   所以共轭于这个方向的主径面为
   2x-2y+3=0．