设∥x∥是Pn中的向量范数 A∈Pn×n 则∥Ax∥也是Pn中的向量范数的充要条件为A是可逆矩阵.
向量,矩阵,
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正确答案:必要性.如果矩阵A不可逆则存在x≠0使得Ax=0即∥Ax∥=0这与向量范数的正定性矛盾所以矩阵A可逆. 充分性.若矩阵A可逆则对任意的x≠0;Ax≠0所以∥Ax∥>0正定性满足;又∥λAx∥=∣λ∣.∥Ax ∥齐次性满足;再由∥A(x+y)∥=∥Ax+Ay∥≤∥Ax∥+∥Ay∥三角不等式也满足.故∥Ax∥是向量范数.
必要性.如果矩阵A不可逆,则存在x≠0,使得Ax=0,即∥Ax∥=0,这与向量范数的正定性矛盾,所以矩阵A可逆.充分性.若矩阵A可逆,则对任意的x≠0;Ax≠0,所以∥Ax∥>0,正定性满足;又∥λAx∥=∣λ∣.∥Ax∥,齐次性满足;再由∥A(x+y)∥=∥Ax+Ay∥≤∥Ax∥+∥Ay∥,三角不等式也满足.故∥Ax∥是向量范数.
