设M0是[a b]上有界函数全体 线性运算的定义与C[a b]的相同。在M0中定义范数于下： 证明：M0是不可分的巴拿
定义,线性,函数
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设M0是[a，b]上有界函数全体，线性运算的定义与C[a，b]的相同。在M0中定义范数于下：
||x||=|x(a)|+Vab(x)
证明：M0是不可分的巴拿赫空间。
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‖·‖满足范数公理显然，下面证明完备性。
设 {xn)是M0中的基本列，则对任给的ε＞0，?N∈Ν,m,n≥N时||xm-xn||<ε 易知xn(t)一致收敛，令Lim xn(t)=x(t)，以下证其是有界变差函数 设Δt>0,因为xn右连续（有界变差的条件之一）且|x(t)-x(t+Δt)|≤|x(t)-xn(t)|+|xn(t)-xn(t+Δt)|+|x(t+Δt)-xn(t+Δt)| 故x右连续。
||xn-x||→0(n→∞),因为xn(t)是基本列，所以?ε>0,?N∈Ν,m,n≥N时 |xm(a)-xn(a)|+∑1|[xm(ti)-xn(ti)]-[xm(ti-1)-xn(ti-1)]|≤||xm-xn||<ε 对一切分割成立，令m→∞得：
|x(a)-xn(a)|+∑1|[x(ti)-xn(ti)]-[x(ti-1)-xn(ti-1)]|≤ε 对分割取上确界，得||x-xn||≤ε即xn按V[a,b]的距离收敛于x 所以x∈V[a,b]即V[a,b]是完备的
故M0是巴拿赫空间。