设m表示R中外测度限制在博雷尔集类上的测度 a b为实数 集E的T变换定义为T（E)={x:ax＋b x∈E}。试证：对每个博雷
实数,中外,定义
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设m表示R中外测度限制在博雷尔集类上的测度，a，b为实数，集E的T变换定义为T(E)={x:ax+b，x∈E}。试证：对每个博雷尔集E，有mT(E)=|a|mE
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根据测度平移不变性，只要证明变换T(E)={x:ax，x∈E)对每个博雷尔集E都有mT(E)=|a|mE。
对于a=0的特殊情形，结论显然正确。对a≠0，分如下四步证明。
(1)
事实上，
反之，
故
同理可证另一不等式。
(2)若G为开集，则T(G)也为开集，且mT(G)=|a|mG事实上，对开区间(α，β)，有
显然，T(α，β)仍为开区间，且mT(α，β)=|a|(α，β)
设，则
，T(αk，βk)互不相交，于是
(3)若F为闭集，则T(F)也为闭集。
事实上，因
，由(1)有
故
由(2)知
为开集，于是丁(F)为闭集。
(4)对博雷尔集E，根据定义，由(1)，(2)，(3)即得T(E)为博雷尔集。下证m*T(E)=|a|m*E
事实上，对任意的开集，显然有
于是由(2)有
再由博雷尔集的可测性得到
mT(E)=m*71(E)=|a|m*E=|a|mE