设3阶矩阵A的特征值为λ1=1 λ2=2 λ3=3 对应的特征向量分别为ξ1=（1 1 1)T ξ2=（1 2 4)T ξ3=（1 3 9)T.又向量β=（
特征,向量,矩阵
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设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量分别为ξ1=(1，1，1)T，ξ2=(1，2，4)T，ξ3=(1，3，9)T.又向量β=(1，1，3)T.
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设有数x1，x2，x3，使得
x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3=β即
解此方程组，得x1=2，x2=-2，x3=1，故β=2ξ1-2ξ2+ξ3.$解法1 由于A有互不相同的特征值，故A相似于对角矩阵.令矩阵
则有P-1AP=D，故A=PDP-1，An=PDnP-1.由(1) 有
所以
解法2 由题设条件有Aξi=iξi(i=1，2，3)，所以有Anξi=inξi(i=1，2，3).故由
β=2ξ1-2ξ2+ξ3
得
Anβ=2Anξ1-2Anξ2+Anξ3
=2×1nξ1-2×2nξ2+3nξ3