证明偶函数的原函数之一是奇函数 而奇函数的一切原函数是偶函数
偶函数,函数
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证明偶函数的原函数之一是奇函数，而奇函数的一切原函数是偶函数
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设f(x)是开区间(-l，l)上的C(-l，l)类的偶函数．则任意形如
的函数是f(x)在(-l，l)上的原函数，这里C是任意常数
显然
(作代换t=-z，并由f(t)是偶函数得)．
这样一来，F(-x)=-F(x)当且仅当C=0，第一个论断得证．
在同一开区间上，设f(x)是奇函数，函数f(x)的不定积分表为
这里C是任意常数．
现在取这一族的任一原函数
并考察Fj(-x)：
(作变量代换t=-z，dt=-dz;f(-z)=-f(z)，且由f(t)的奇函数性质得到)．第二个论断得征．