一直角扇形域的两直角边电位为零 r=a的圆弧边的电位为U0 求区域内的电位分布。

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一直角扇形域的两直角边电位为零,r=a的圆弧边的电位为U0,求区域内的电位分布。

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答案解析

难度★★☆ 搜索
  • 如图5.11所示,所讨论的区域限于latex.action?latex=MO%2B8nFxwaGkg77ycXGZyYWN7XHBpIH17Mn0%3D,所以解的形式为
       f5.1DC065D.jpg
       U(r,φ)=(Arv+Br-v)(Ccosvφ+Dsinvφ)
       对可能的v值求和,并考虑到r=0时U应有限,所以有
       latex.action?latex=VT1cc3VtIF97dn1ee31yXnYoQV92Y29zdlxwaGkgK0JfdnNpbnZccGhpICk%3D
       由边界条件  φ=0,U=0
       得  Av=0
       由边界条件  latex.action?latex=XHBoaSA9XGZyYWN7XHBpIH17Mn0%3D,U=0
       得  v=2n(n=1,2,3,…)
       因此 latex.action?latex=VT1cc3VtIF97bj0xfV57XGluZnR5IH1CX25yXnsybn1zaW4yblxwaGkg
       在圆弧r=a上,有
       latex.action?latex=VShh77yMXHBoaSApPVxzdW0gX3tuPTF9XntcaW5mdHkgfUJfbmFeezJufXNpbjJuXHBoaSA9VV8w%0D%0A
       解得
       latex.action?latex=Ql9uPVxmcmFjezRVXzB9e25ccGkgYV57Mm59feOAgG495aWH5pWw
       所以
       latex.action?latex=VT1cc3VtIF97bj0x77yMM%2B%2B8jDXvvIzigKZ9XntcaW5mdHkgfVxmcmFjezRVXzB9e25ccGkgfVxs%0D%0AZWZ0KCBcZnJhY3tyfXthfSBccmlnaHQpXnsybn1zaW4yblxwaGkg