某线性时不变系统的初始状态不变。已知当激励为f（t)时 全响应 y1（t)=e－t＋cosπt t＞0 当激励为2f（t)时 其全
线性,系统,状态
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某线性时不变系统的初始状态不变。已知当激励为f(t)时，全响应
y1(t)=e-t+cosπt， t＞0
当激励为2f(t)时，其全响应
y2(t)=2cosπt， t＞0
求当激励为3f(t)时，系统的全响应。
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设系统的零状态响应为yzs(t)，零输入响应为yzi(t)，则有
y1(t)=yzs1(t)+yzi1(t)=e-t+cosπt，t＞0 ①
y2(t)=yzs2(t)+yzi2(t)=2cosπt，t＞0 ②
因f1(t)=f(t)，f2(t)=2f(t)，有 f2(t)=2f1(t)
根据已知条件以及LTI系统的性质，
将以上两式代入①、②中求得
yzs1(t)=-e-t+cosπt，t＞0
yzi1(t)=2e-t，t＞0
当激励为3f(t)时，系统的全响应为
y3(t)=yzs3(t)+yzi3(t)=3yzs1(t)+yzi1(t)
=3(-e-t+cosπt)+2e-t
=3cosπt-e-t，t＞0[知识点分析]本题考察线性系统的响应函数的求法。
[逻辑推理]从一定初始条件和一定激励来求取系统响应，即求取描述该系统的常系数线性微分方程。