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在一元线性回归模型中 试证：未知参数a b的最小二乘估计恰是极大似然估计

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在一元线性回归模型中，试证：未知参数a，b的最小二乘估计恰是极大似然估计

热搜：一元线性回归方程的显著性假设检验中

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  • [证明]  一元线性回归模型为：latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y315X3tpfT1hK2J4X3tpfSvOtV97aX0saT0xLDIs4oCmLG5c%0D%0AXCDOtV97aX3vvZ5OKDAsz4NeezJ9KSzOtV97MX0szrVfezJ9LOKApizOtV97bn3nm7jkupLni6zn%0D%0Aq4sgIFxlbmR7YXJyYXl9最小二乘估计是指对x，y的n对试验值：(xi，yi)(i=1，2，…，n)作偏差平方和latex.action?latex=UT1cc3VtX3tpPTF9XntufSh5X3tpfS1hLWJ4X3tpfSleezJ9，利用微积分中的求极值方法，求出使latex.action?latex=UShcaGF0e2F9LFxoYXR7Yn0pPW1pblEoYSxiKeeahFxoYXR7YX3lkoxcaGF0e2J9，则latex.action?latex=XGhhdHt5fT1caGF0e2F9K1xoYXR7Yn14为所求线性回归方程．
       极大似然法是：yi=a+bxi+εi，εi～N(0，σ2)，则yi～N(a+bx，σ2)，得样本的极大似然函数
       latex.action?latex=TD0oXGZyYWN7MX17z4Ncc3FydHsyz4B9fSlee259ZXhwWy1cZnJhY3sxfXsyz4NeezJ9fVxzdW1f%0D%0Ae2k9MX1ee259KHlfe2l9LWEtYnhfe2l9KV57Mn1d要使L取最大值，则应使latex.action?latex=XHN1bV97aT0xfV57bn0oeV97aX0tYS1ieF97aX0pXnsyfQ%3D%3D为最小．用与最小二乘法中同样的极值方法，求得使latex.action?latex=UT1cc3VtX3tpPTF9XntufSh5X3tpfS1hLWJ4X3tpfSleezJ9最小的latex.action?latex=XGhhdHthfeS4jlxoYXR7Yn0%3D，得线性回归方程latex.action?latex=XGhhdHt5fT1caGF0e2F9K1xoYXR7Yn14
       由于两种方法讨论的都是latex.action?latex=UT1cc3VtX3tpPTF9XntufSh5X3tpfS1hLWJ4X3tpfSleezJ9，且由此求得latex.action?latex=XGhhdHthfeWSjFxoYXR7Yn0%3D，故最小二乘法与极大似然法的结果是相同的．