设(S)为上半球面x2+y2+z2=a2(z≥0) 计算∫∫ xyzdS

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设(S)为上半球面x2+y2+z2=a2(z≥0),计算∫∫ xyzdS

热搜:z平面和s平面对应关系

答案解析

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  • ∑在xoy面上的投影区域是D:x^2+y^2≤R^2.
    ∑的方程是z=√(R^2-x^2-y^2),偏导数αz/αx=-x/z,αz/αy=-y/z,所以dS=a/z dxdy=a/√(R^2-x^2-y^2) dxdy.
    所以∫∫(∑) xyzdS=∫∫(D) xy√(R^2-x^2-y^2)×a/√(R^2-x^2-y^2) dxdy=a∫∫(D) xydxdy=0(这里用极坐标计算一下是0,或用对称性直接得解)