试证明：在高温热源和低温热源间工作的不可逆热机与卡诺热机联合操作时 若令卡诺热机得到的功Wr等于不可逆热
热机,卡诺,热源
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试证明：在高温热源和低温热源间工作的不可逆热机与卡诺热机联合操作时，若令卡诺热机得到的功Wr等于不可逆热机做出的功-W，假设不可逆热机的热机效率η大于卡诺热机的热机效率ηr，其结果必然是有热量从低温热源流向高温热源，而违反热力学第二定律的克劳修斯说法。
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证明 我们采用反证法。假设某不可逆热机的热机效率ηi,r大于卡诺机的热机效率ηr。将此不可逆热机与逆向卡诺热机在两热源间联合操作，如图3-3所示。
不可逆热机从高温热源T1吸热Q1(Q1＞0)，向低温热源T2放热-Q2(Q1＜0)，对环境做功-W(W＜0)；逆向卡诺热机从环境得到功Wr(Wr＞0)，从低温热源T2吸热Q2,r(Q2,r＞0)，向高温热源T1放热-Q1,r(Q1,r＜0)。
使逆向卡诺热机向高温热源放出的热-Q1,r与不可逆热机从高温热源吸收的热Q1相等，-Q1,r=Q1，即Q1+Q1,r=0，按热机效率定义式
现以假设ηi,r＞ηr及使Q1=Q1,r，故有-W＞Wr，Q1+Q2＞-Q1,r-Q2，即Q2＞-Q2,r，因此得-(W+Wr)＞0，Q2+Q2,r＞0。
这说明：如上条件的不可逆热机与逆向卡诺热机联合运行的结果是不可逆热机对环境做的功-W大于逆向卡诺热机得自环境的功Wr，不可逆热机向低温热源放出的热-Q2小于逆向卡诺热机从低温热源吸收的热Q2,r，总的结果是热从低温热源流向高温热源而没有发生其他的变化。
这违反了热力学第二定律的克劳修斯说法：“不可能把热从低温物体传到高温物体而不产生其他影响。”
可见前面对于不可逆热机的热机效率ηi,r大于卡诺机的热机效率ηr这一假设是不能成立的，因此也证明了卡诺定理。