设L1和L2是两条不相交的异面直线 分别过L1和L2作两个互相垂直的平面 求证：交线的轨迹是单叶双曲面或两张相
双曲面,平面,直线
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设L1和L2是两条不相交的异面直线，分别过L1和L2作两个互相垂直的平面，求证：交线的轨迹是单叶双曲面或两张相交平面。
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证：取异面直线L1和L2的公垂线的中点为坐标原点，公垂线为z轴，并取x轴与直线L1，L2成相等夹角．因此直线L1和L2的方程分别是L1：
和
，其中h是一个正常数，
，那么过直线L1的平面Ⅱ1的方程是
μ1(θ+xtanθ)+v1(z-h)=0 (μ1，v1是不全为0的实数)过直线L2的平面Ⅱ2的方程是
μ2(y-xtanθ)+v2(z+h)=0 (μ2，v2是不全为0的实数)平面Ⅱ1的法向量为n1=(μ1tanθ，μ1，v1)，平面Ⅱ2的法向量为n2=(-μ2tanθ，μ2，v2)，由于Ⅱ1⊥Ⅱ2，因而，n1·n2=0，即-μ1μ2tan2θ+μ1μ2+v1+v2=0，当v1v2≠0时，有
(1)
再由Ⅱ1的方程知，当v1≠0时，有
(2)
由Ⅱ2的方程知，当v2≠0时，有
(3)
把(2)、(3)式代入(1)式，得
将上式两端乘上(y+xtanθ)(y-xtanθ)有
-(z2-h2)tan2θ+(z2-h2)+(y2-x2tan2θ)=0
即
x2tan2θ+y2+(tan2θ-1)z2+h2(1-tan2θ)=0 (4)
由此可见：
(1)当时，(4)式是单叶双曲面的方程；
(2)当时，(4)式变为x2-y2=0，即x-y=0或x+y=0，此时曲面退化为两个相交于z轴的平面。