某人先写了n封投向不同地址的信 冉写n个标有这n个地址的信封 求信与地址配对的个数X的数学期望和方差
某人先写了n封投向不同地址的信，冉写n个标有这n个地址的信封，求信与地址配对的个数X的数学期望和方差
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设X 表示配对的个数，Xi 定义如下
Xi= {
1 ，若第 i 封信配对， i ＝ 1，2，．．．n.
0，否则，
n
X = ∑ Xi , P(Xi=1)= 1/n , P(Xi=0) = 1- 1/n .
1
因为 E(Xi) = 1×1/n + 0×(1- 1/n) = 1/n ,
故 E(Xi) = E(X1+X2+...+Xn) = E(X1) + E(X2) +...+ E(Xn) = 1 .
下面我们来求方差。求方差时一定要注意的是Xi(i=1,2,...,n)之间没有独立性，因而不能认为有
D(X)= D(X1) + D(X2) + ... +D(Xn) .
因为 D(X)=E(X2) － (E(X))2 ，则
E(X2) = E[(X1+X2+...+Xn)2]
n
= ∑ E(Xi2) + 2 ∑ E(XiXj)
i=1 i≤ i < j≤n
E(Xi2) = 12 × 1/n + 02 × （1－1/n） = 1/n .
因为随机变量 XiXj (i≠j) 的可能取值为 1 和 0 , 且
P(XiXj=1) = 1 / [n(n-1)] , P(XiXj=0) = 1- 1/[n(n-1)] ,
故有 E(XiXj) = 1×1/[n(n-1)] + 0×(1-1/[n(n-1)]) = 1/[n(n-1)] .
于是 E(X2) = n × 1/n + 2Cn2×1/[n(n-1)] = 2 .
所以 D(X)= E(X2) - [E(X)]2 = 2 - 12 =1 .