特征值与特征向量
1、几乎所有的向量在乘以矩阵后都会改变方向，某些特殊的向量和位于同一个方向，它们称之为特征向量。
2、数字称为特征值。它告诉我们在乘以后，向量是怎么被拉伸、缩小、反转或者不变得。意味着特征向量存在于矩阵的零空间中。任意向量都是单位矩阵的特征向量，因为，其特征值为 1。
3、要计算特征值的话，我们只需要知道即可。
4、如果乘以的话，我们仍然得到，任意的乘方仍然得到。如果乘以的话，我们得到，再乘以我们得到。
5、当被平方的时候，其特征向量不变，特征值也变为平方。
6、这种模式将会继续保持，因为特征向量一直待在他们自己的方向，不会改变。
7、其它向量都会改变方向，但它们可以表示为特征向量的线性组合。
8、当我们将这个向量乘以后，每个特征向量都乘以了它们对应的特征值。
9、利用这个特性，我们可以进行 99 次乘法。
10、特征向量处于稳定状态，因为，所以它不会改变。特征向量处于衰减状态，因为，乘方次数很大时，它就相当于消失了。上述这个特殊的矩阵是一个马尔科夫矩阵，它的每个元素都为正并且每一列相加之后和为 1，这保证了它的最大特征值为 1。
11、对于投影矩阵，它的特征值为 0 和 1。对应于稳定状态，投影矩阵将列空间的所有向量都投影到列空间中去，也即还是它自身。对应于零空间，投影矩阵将零空间的所有向量都投影到零向量。
12、对于镜像矩阵，它的特征值为 1 和 -1。说明乘以矩阵后特征向量不变，说明乘以矩阵后特征向量变为相反方向。
特征值的计算
1、如果上述式子有非零解，那么是奇异的，也就是行列式为零。因此，我们先通过下式求出特征值。
2、然后，针对每个特征值，再通过求解来找到特征向量。
3、一些矩阵可能只有一个特征向量，这时候，它的两个特征值相同。同理，的矩阵如果没有个线性不相关的特征向量，那么就不能将任意一个向量都表示为特征向量的线性组合。
4、消元过程通常会改变矩阵的特征值，三型矩阵的对角线元素即为特征值，但它们不是矩阵的特征值。
5、但是，我们可以从矩阵中很快地就发现特征值的乘积以及和。
6、个特征值的乘积就是矩阵的行列式值。个特征值的和就是矩阵个对角线元素的和。
7、主对角线上元素的和称为矩阵的迹(trace)。
8、另外，特征值也可能会不是实数。