设{N（t) t≥0}是强度为λ的泊松过程 定义随机过程Y（t)=N（t＋L)－N（t) 其中常数L＞0．试求Y（t)的均值函数和自相关
过程,常数,函数
已帮助 人
设{N(t)，t≥0}是强度为λ的泊松过程，定义随机过程Y(t)=N(t+L)-N(t)，其中常数L＞0．试求Y(t)的均值函数和自相关函数，并问Y(t)是否是平稳过程？
-
因N(t)是强度为λ的泊松过程，所以N(t+L)-N(t)～π(λL)，从而
E[Y(t)]=E[N(t+L)-N(t)]=λL，
RY(s，t)=E{[N(s+L)-N(s)][N(t+L)-N(t)]}
=E[N(s+L)N(t+L)]+E[N(s)N(t)]
-E[N(s+L)N(t)]-E[N(s)N(t+L)]．
因E[N(s)N(t)]=λ2st+λmin{s，t}，s，t≥0，故
RY(s，t)=λ2L2+λ[min{s+L，t+L}
+min{s，t}-min{s+L，t}-min{s，t+L}]． (A)
记t-s=τ，由RY(s，t)=RY(t，s)，即知RY(s，t)关于s，t是对称的，故不妨暂时认为s≤t．于是上式右边得出结果。
由s，t的对称性，知Y(t)是平稳过程。
上述(A)式也可以由先求出Y(t)的协方差函数而获得，事实上
CY(t，t+τ)=Cov[Y(t)，Y(t+τ)]
=Cov[N(t+L)-N(t)，N(t+τ+L)-N(t+τ)]
=Cov[N(t+L)，N(t+τ+L)]-Cov[N(t)，N(t+τ+L)]
=Cov[N(t+L)，N(t+r)]+Cov[N(t)，N(t+τ)]
=λmin{t+L，t+τ+L)-λmin{t，t+τ+L}
-λmin{t+L，t+τ)+λmin{t，t+τ}．
于是得到自相关函数。