设Q是有理数域．证明：数域 Q（i)={a＋bi|a b∈Q} 有且只有两个自同构．
自同构,有理数,两个
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正确答案：恒等变换和σ:a+bi→a一bi显然是数域Q(i)的两个自同构． 现在设τ也是Q(i)的一个自同构则由上题知对任意有理数a有τ(a)=a．另外设τ(i)=c+did≠0则 一1=τ(i2)=(c+di)2=c2一d2+2cdi． 这只有c=0d=±1-但当d=1时由 τ(a)=a τ(i)=i 可得τ(a+bi)=a+bi即τ为恒等自同构；当d=一1时又得τ(a+bi)=a—bi即τ=σ． 故Q(i)有且只有两个自同构．
恒等变换和σ:a+bi→a一bi显然是数域Q(i)的两个自同构．现在设τ也是Q(i)的一个自同构,则由上题知,对任意有理数a,有τ(a)=a．另外,设τ(i)=c+di,d≠0,则一1=τ(i2)=(c+di)2=c2一d2+2cdi．这只有c=0,d=±1-但当d=1时,由τ(a)=a,τ(i)=i可得τ(a+bi)=a+bi,即τ为恒等自同构；当d=一1时,又得τ(a+bi)=a—bi,即τ=σ．故Q(i)有且只有两个自同构．