4.设A为m×n矩阵 B为n×m矩阵已知Em－AB可逆证明：En－BA可逆且（En－BA)－1=En＋B（Em－AB)－1A.

大学 2020-01-22 16:15:27 矩阵已帮助人

4.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，已知Em-AB可逆，证明：E_n-BA可逆，且(E_n-BA)^-1=E_n+B(E_m-AB)^-1A.

难度★★☆ 搜索

由于(En-BA)[En+B(Em-AB)-1A]=En+B(Em-AB)-1A-BA-BAB(Em-AB)-1A=En+B[(Em-AB)-1-Em-AB(Em-AB)-1]A=En+B[(Em-AB)(Em-AB)-1-Em]A=En+B(Em-Em)A=En，所以En-BA可逆，且(En-BA)-1=En+B(Em-AB)-1A.

4.设A为m×n矩阵 B为n×m矩阵 已知Em－AB可逆 证明：En－BA可逆 且（En－BA)－1=En＋B（Em－AB)－1A.