设A为m×n实矩阵.证明:ATA为正定矩阵的充分必要条件是r(A)=n.

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设A为m×n实矩阵.证明:ATA为正定矩阵的充分必要条件是r(A)=n.

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  • 若ATA正定,则对于x≠0,有xT(ATA)x=(Ax)TAx=‖Ax‖2>0,有Ax≠0,故齐次方程组Ax=0只有零解,xTr(A)=n;若r(A)=n则方程组Ax=0只有零解,故对x≠0,有Ax≠0,从而xT(ATA)x=‖Ax‖2>0,因此实对称矩阵ATA正定。