搜题
  1. 问题易首页
  2. 大学
导航：题目详情 | 答案解析 | 相关问题 | 最新问题

设f是拓扑空间（X τ)上的任意复函数 定义 φ（x V)=sup{|f（s)－f（t)|：s t∈V} V∈τ x∈V； φ（x)=inf{φ（x V)：V∈τ)

大学 复函,拓扑,定义 已帮助 人

设f是拓扑空间(X，τ)上的任意复函数，定义

  φ(x，V)=sup{|f(s)-f(t)|：s，t∈V}， V∈τ，x∈V；

  φ(x)=inf{φ(x，V)：V∈τ)，x∈V．

  证明φ是上半连续的，并且f在点x连续当且仅当φ(x)=0．从而任何复函数连续点的集都是一个Gδ集．

热搜：什么是二分法?用二分法求f(x)=0的根,f要满足什么条件?

答案解析

难度★★☆ 搜索

  • [证明]设α∈，Eα={x∈X：φ(x)＜α}．y∈Eα，有φ(y)＜α，取β∈使φ(y)＜β＜α．于是Vy∈τ，y∈Vy且φ(y，Vy)＜β，从而s，t∈Vy，有|f(s)-f(t)|＜β．下证VyEα．事实上，设x∈Vy，则有
       
       从而有φ(x)≤φ(x，Vy)≤β＜α，即x∈Eα．故VyEα．由于
       
       即，故E为开集，因此φ是上半连续的．
       设f在点x连续，则ε＞0，Vx为开集，使x∈Vx且s，t∈Vx有|f(s)-f(t)|＜ε，于是φ(x，Vx)≤ε，φ(x)≤φ(x，Vx)≤ε，由ε的任意性得φ(x)=0．反之，设φ(x)=0，则ε＞0，φ(x)＜ε，从而Vx为开集，x∈Vx且φ(x，Vx)＜ε，进一步有s，t∈Vx，|f(s)-f(t)|＜ε．这表明f在点x连续．
       复函数f的连续点集G={x∈X：φ(x)=0}={x∈X：φ(x)＜1/n)，因φ上半连续，每个{x∈X：φ(x)＜1/n}为开集，故G为Gδ集．