设f（x)是区间[α b]上的一个非常数的连续函数 M m分别是最大最小值。求证：存在[α β]真包含于[α b]

大学 2020-02-13 23:48:51 连续函数,常数,区间已帮助人

设f(x)是区间[α，b]上的一个非常数的连续函数，M，m分别是最大、最小值。求证：存在[α，β]真包含于[α，b]，使得 (i)m＜f(x)＜M，x∈(α，β)； (ii)f(α)，f(β)恰好是f(x)在[α，b]上的最大、最小值(最小、最大值)。

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正确答案：(i)用反证法即设对所有[αβ] 真包含于 [αb]都有m≤f(x)≤Mx∈(αb) 则对任意x∈[αb]取[αβ]=[x-△xx+△x]则 f(x)=M=m此时f(x)为常数函数与题设矛盾。故存在[αβ]真包含于 [αb]使m＜f(x)(i)用反证法,即设对所有[α,β]真包含于[α,b],都有m≤f(x)≤M,x∈(α,b)则对任意x∈[α,b],取[α,β]=[x-△x,x+△x]则f(x)=M=m,此时f(x)为常数函数,与题设矛盾。故存在[α,β]真包含于[α,b],使m＜f(x) 反馈

设f（x)是区间[α b]上的一个非常数的连续函数 M m分别是最大 最小值。求证：存在[α β]真包含于[α b]