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设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r 向量η1 … ηn－r＋1是它的n－r＋1个线性无关的解．试证它的任一解可表

大学 2020-03-20 18:03:09 向量,矩阵,线性已帮助人

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，向量η₁,…,η_n-r+1是它的n-r+1个线性无关的解．试证它的任一解可表示为

x=k₁η₁+…+k_n-r+1η_n-r+1

其中k₁+…+k_n-r+1=1

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答案解析

难度★★☆ 搜索

证：令ξj=ηj+1-η1(j=1，…，n-r)，则有
Aξj=Aηj+1-Aη1=b-b=0
即ξ1,ξ2,…,ξn-r是AX=0的解．设有x1,x2,…,xn-r，使
x1ξ1+x2ξ2+…+xn-rξn-r=0
即-(x1+x2+…+xn-r)η1+x1η2+…+xn-rηn-r+1=0
由于η1，…，ηn-r+1线性无关，所以
η_{n-r+1是它的n-r+1个线性无关的解，故方程组只有零解x1=x2=…=xn-r=0，从而ξ1，…，ξn-r线性无关．又由R(A)=r知，ξ1，…，ξn-r是AX=0的基础解系，于是AX=b的任一解可表示为
X=η1+t1ξ1+…+tn-rξn-r
=(1-t1-…-tn-r)η1+t1η2+…+tn-rηn-r+1
=k1η1+k2η2+…+kn-r+1ηn-r+1
其中k1=1-t1-…-tn-r，…，k2=t1，…，kn-r+1=tn-r，且有
k1+k2+…+kn-r=1
[思路点拨] 先证ζ1=(η1-ηn-r+1),…,ζn-r=(ηn-r-ηn-r+1)是Ax=0的一个基础解系；再由非齐次线性方程组解的结构性质证明．}