求由下列方程所确定的隐函数z=z（x y)的极值： （1)z2＋xyz－x2－xy2－9=0; （2)x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z－11=0
极值,函数
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(1)将隐函数方程两边分别关于x，y求偏导数，得
2zzx+yz+xyz-2x-y2=0， ①
2zzy+xz+xyz-2xy=0， ②令zx=0，zy=0得y(z-y)=2x，z(z-2x)=0，再与隐函数满足的方程z2+xyz-x2-xy2-9=0联立，可得驻点(0，0)，(0，±3)以及它们对应的函数值z(0，0)=±3，z(0，±3)=±3，记△(x，y)=zxxzyy-zxy2，再将方程①两边分别关于x，y求偏导数，将方程②两边关于y求偏导数，得
2zx2+2zzxx+2yzx+xyzxx-2=0,
2zyzx+2zzxy+z+yzy+xzx+xyzxy-2y=0,
2zy2+2zzyy+2xzy+zyzyy-2x=0,
在点(0，0)处，z(0，0)=±3，zyy=0，(0，0)不是极值点．
在点(0，±3)处，z(0，±3)=±3，zyy=0，(0，±3)不是极值点
(2)隐函数z=z(x，y)的极值可以看做在隐函数方程限制下z的极值．作拉格朗日函数
L(x,y,z,λ)=z+λ(x2+y2+z2-2x+4y-6z-11),
解方程组▽L(x，y，z，λ)={Lx，Ly，Lz，Lλ}=0，得驻点
x1=1,y1=-2，z1=8，x2=1,y2=-2，z2=-2，因Lxx=2λ，Lxz=0，Lxz=0，Lyy=2λ，Lyz=0，Lzz=2λ，故得二次型对应的矩阵．于是，由泰勒公式可知，z1=8是极大值，z2=-2是极小值。