设Z是整数集 m是任意整数 Zm是由模m的同余类组成的同余类集 在Zm上定义两个二元运算＋m和×m分别如下： 对于
设Z是整数集，m是任意整数，Zm是由模m的同余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m分别如下：
对于任意的[i]，[j]∈Zm，
[i]+m[j]=[(i+j)(modm)]，[i]×m[j]=[(i×j)(modm)]．
证明：在这两个运算的运算表中任何两行或两列都不相同．
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(1)由运算+m和×m的定义知，它们在Zm上都是封闭的，故(Zm，+m)和(Zm，×m)都为代数系统．
(2)对于任意的[i]，[j]，[k]∈Zm，有
([i]+m[j]+m[k]=[((i+j)+k)(modm)]=[(i+(j+k))(modm)]
=[i]+m([j]+m[k])；
([i]×m[j])×m[k]=[((i×j)×k)(modm)]=[(i×(j×k))(modm)]
=[i]×m([j]×m[k])；
即运算+m和×m都是可结合的．
(3)因为
[0]+m[j]=[(0+j)(modm)]=[j(modm)]=[j]，
所以[0]是(Zm，+m)的左单位元．同理，[0]是(Zm，+m)的右单位元．所以[0]是(Zm，+m)的单位元．
[1]×m[j]=[(1×j)(modm)]=[j(modm)]=[j]，
所以[1]是(Zm，×m)的左单位元．同理，[1]是(Zm，×m)的右单位元．所以[1]是(Zm，×m)的单位元．
因此，(Zm，+m)和(Zm，×m)都为独异点．从而由定理可知，这两个运算的运算表(见表5-8和表5-9)中任何两行或两列都不相同．
表5-8
+m 0 1 2 3 … m-2 m-1 0 0 1 2 3 … m-2 1 1 2 3 4 … m-1 0 2 2 3 4 5 … 0 1 3 3 4 5 6 … 1 2 vdots vdots vdots vdots vdots vdots vdots m-2 m-1 0 1 … 2 m-1 m-1 0 1 2 … 3
表5-9
×m 0 1 2 3 … m-2 0 0 0 0 0 … 0 0 1 0 1 2 3 … m-2 2 0 2 4 6 … m-4 m-2 3 0 3 6 9 … m-6 vdots vdots vdots vdots vdots vdots vdots m-2 0 m-2 m-4 … 4 2 m-1 0 m-1 m-2 … 2 1