设α=（1 2 3) β=（1 1／2 1／3) 矩阵A=αTβ 求An（n=2 3 …).
矩阵
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设α=(1，2，3)，β=(1，1/2，1/3)，矩阵A=αTβ，求An(n=2，3，…).
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解法1
设Ak=3k-1A
则Ak+1=AAk=A(3k-1A)=3k-1A2=3k-1(3A)=3kA
故由数学归纳法知，对任何正整数n，成立
解法2 利用矩阵乘法的结合律，得
An=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)(αTβ)=αT(βαT)…(βαT)β
由于
故求方阵的正整数幂的一般方法是数学归纳法，但本题利用矩阵乘法的结合律则较简单.注意，矩阵乘法的结合律在矩阵运算中常常用到.