设m×n矩阵A的秩为n 又已知n维列向量组α1 α2 … αs（s≤n)线性无关. 证明：向量组Aα1 Aα2 … Aαs线性无关.
向量,线性,矩阵
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证 证法1 只需证明矩阵
B=[Aα1 Aα2…Aαs]
的秩为s.由矩阵乘法，有
B=A[α1 α2…αs]
又已知矩阵Am×n的秩为n，向量组α1，α2，…，αs线性无关，故矩阵A及矩阵[α1 α2…αs]都是列满秩矩阵，因此它们的乘积矩阵B也是列满秩矩阵(3-7题的推论4)，即向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关.
证法2 设有一组数x1，x2，…，xs使得
x1Aα1+x2Aα2+…+xsAαs=0
即 A(x1α1+x2α2+…+xsαs)=0 (3-21)
设A=[β1 β2…βn]，则(3-21)式成为
k1β1+k2β2+…+knβn=0 (3-23)
由于r(A)=n，故A的列向量组β1，β2，…，βn线性无关，因此由(3-23)式得
k1=k2=…=kn=0
代入(3-22)式，得
x1α1+x2α2+…+xsαs=0
因为α1，α2，…，αs线性无关，故得x1=x2=…=xs=0，所以向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关.本题的结论可看作列满秩矩阵的一个性质.读者试写出行满秩矩阵与此类似的性质.