设A为m×n矩阵.证明：对于任意的m维列向量b 线性方程组Ax=b都有解的充分必要条件是r（A)=m.
设A为m×n矩阵.证明：对于任意的m维列向量b，线性方程组Ax=b都有解的充分必要条件是r(A)=m。
-
证 必要性 证法1 设对于任意m维列向量b，方程组Ax=b有解，则对于m维单位向量ej=(0，…，0，1，0，…，0)T方程组Ax=ej有解.设方程组Ax=ej的解为cj(j=1，2，…，m)，则有
Acj=ej(j=1，2，…，m)
故有 [Ac1 Ac2… Acm]=[e1 e2…em]
即 A[c1 c2…cm]=Em
所以有 m=r(Em)=r(A[c1 c2…cm])≤r(A)
即有 m≤r(A).又A为m×n矩阵，故有 r(A)≤m.因此 r(A)=m.
证法2 同证法1，可知线性方程组Ax=ej有解，即向量ej可由A的列向量组线性表示(j=1，2，…，m).设A按列分块为A=[α1 α2…αn]，则向量组e1，e2，…，em可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，于是有
m=r(e1，e2，…，em)≤≤r(α1，α2，…，αn)=r(A)又r(A)≤m，所以，r(A)=m.
充分性 证法1 设r(Am×n)=m，则A的行向量组线性无关，由于方程组Ax=b的增广矩阵=[A|b]的行向量可看作是由A的行向量在末尾位置添加分量所得到，故行向量组也线性无关。于是得r(A)=r(b)，由有解判定定理，即知方程组Ax=b有解。
证法2 设r(Am×n)=m，则A的列向量组的极大无关组(设为)αj1，αj2，…，αjm可作为m维向量空间的基，因而，m维列向量b可由向量组αj1，αj2，…，αjm线性表出，从而知b可由A的列向量组线性表出，即线性方程组Ax=b有解.本题两种证法分别利用了线性方程组的矩阵形式和向量形式.证明中利用了有关向量组线性相关、线性无关的一些结论，请读者指出证明中都利用了哪些结论。