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证明：I中点列的弱收敛与按范数收敛等价

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证明：I中点列的弱收敛与按范数收敛等价

热搜：收敛比收敛还是收敛吗

答案解析

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  • 设xn弱收敛于x，不妨设x=0，则对一切y={ai}∈l∞，有
       ∑i=1∞aiξi(n)→0  (n→∞)，
       此处xn={ξi(n)}下面证明xn强收敛于0，即
       ∑i=1∞|ξi(n)|→0   (n→∞)
       假设不成立，则存在ε0＞0及n1＜n2＜…   ∑i=1∞|ξi(nk)|≥ε0(k=1，2，3…)
       不妨设上面的不等式对一切n都成立。因为xn∈l，故对每个n都有
       ∑i=k∞|ξi(n)|→0   (k→∞)
     也是对任何自然数k成立，这与xn弱收敛于0矛盾，故一定有xn强收敛于0。