已知描述系统的微分方程和初始状态如下 试求其零输入响应 零状态响应和全响应。y（t)＋3y’（t)＋2y（t

正确答案：(1)根据零输入响应定义可知零输入响应yzi(t)应满足齐次方程 yzi""(t) ＋4yzi"(t) ＋3yzi(t)=0且有 yzi(0+)=yzi"(0-)=y"(0-)=1 yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=1 该齐次方程的特征根为λ1= ﹣3λ2= ﹣1其解为 yzi(t)=Czi1e-3t＋Czi2e﹣tt≥0 代人初始值得 yzi(0+)=Czi1＋Czi2=1 yzi"(0+)= 一3 Czi1一Czi2=1 解得Czi1= ﹣1Czi2=2因此得零输入响应 yzi(t)= 一e-3t＋2e﹣tt≥0 根据零状态响应定义零状态响应yzs(t)应满足非齐次方程 yzs""(t) ＋4yzs"(t) ＋3yzs(t)=ε(t) 且有 yzs"(0-)=yzs(0-)＝0由于方程右端无冲激项故yzs"(0+)=yzs"(0-)=0yzs(0+)=yzs(0-)=0 方程的齐次解为 yzsh(t)=C zs1e-3t＋Czs2 e-tt≥0 容易求得特解为 yzsp(t)=1／3t≥0 则零状态响应yzs(t)为 yzs(t) =Czs1 e-3t＋Czs2 e-t＋1／3t≥0 代人初始值得 yzs(0+)=Czs1＋Czs2＋1／3=0因此 yzs"(0+)=yzs"(0-)＋1=l 对式③两端从0-到0+积分得 yzs(0+) 一yzs(0-) =0 因此 yzs(0+)=yzs(0-)=0 当t＞0时式①可写为 yzs""(t) ＋2yzs"(t)＋2yzs(t)=0 此齐次方程的解为 yzs(t)=Czs1e-tcost＋Czs2e-tsin t t＞0 代入初始值得 yzs(0+)＝Czs1=0 yzs"(0+)=﹣Czs1＋czs2=1 可解得Czs1=0Czs2=1因此得零状态响应为 yzs(t)＝e-tsin t t≥0 根据线性系统的可分解性得系统完全响应为 y(t)=)＝yzi(t)＋yzs(t)=2e-tsin t t≥0
(1)根据零输入响应定义,可知零输入响应yzi(t)应满足齐次方程yzi""(t)＋4yzi"(t)＋3yzi(t)=0且有yzi(0+)=yzi"(0-)=y"(0-)=1yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=1该齐次方程的特征根为λ1=﹣3,λ2=﹣1,其解为yzi(t)=Czi1e-3t＋Czi2e﹣t,t≥0代人初始值,得yzi(0+)=Czi1＋Czi2=1yzi"(0+)=一3Czi1一Czi2=1解得Czi1=﹣1,Czi2=2,因此得零输入响应yzi(t)=一e-3t＋2e﹣t,t≥0根据零状态响应定义,零状态响应yzs(t)应满足非齐次方程yzs""(t)＋4yzs"(t)＋3yzs(t)=ε(t)且有yzs"(0-)=yzs(0-)＝0由于方程右端无冲激项,故yzs"(0+)=yzs"(0-)=0,yzs(0+)=yzs(0-)=0方程的齐次解为yzsh(t)=Czs1e-3t＋Czs2e-t,t≥0容易求得特解为yzsp(t)=1／3,t≥0则零状态响应yzs(t)为yzs(t)=Czs1e-3t＋Czs2e-t＋1／3,t≥0代人初始值,得yzs(0+)=Czs1＋Czs2＋1／3=0因此yzs"(0+)=yzs"(0-)＋1=l对式③两端从0-到0+积分,得yzs(0+)一yzs(0-)=0因此yzs(0+)=yzs(0-)=0当t＞0时,式①可写为yzs""(t)＋2yzs"(t)＋2yzs(t)=0此齐次方程的解为yzs(t)=Czs1e-tcost＋Czs2e-tsint,t＞0代入初始值,得yzs(0+)＝Czs1=0yzs"(0+)=﹣Czs1＋czs2=1可解得Czs1=0,Czs2=1,因此得零状态响应为yzs(t)＝e-tsint,t≥0根据线性系统的可分解性,得系统完全响应为y(t)=)＝yzi(t)＋yzs(t)=2e-tsint,t≥0