设λ1 λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值 对应的特征向量分别为α1 α2 试证：c1α1＋c2α2（c1≠0 c2≠0为常数)不是A的特
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设λ1，λ2是n阶矩阵A的两个不同特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，试证：c1α1+c2α2(c1≠0，c2≠0为常数)不是A的特征向量．
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(用反证法)设c1α1+c2α2为A的属于特征值λ的特征向量，于是
A(c1α1+c2α2)=λ(c1α1+c2α2)=c1λα1+c2λα2，
因为
Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2
所以
A(c1α1+c2α2)=c1Aα1+c2Aα2=c1λ1α1+c2λ2α2
由此得
c1λ1α1+c2λ2α2=c1λα1+c2λα2
即
c1(λ-λ1)α1+c2(λ-λ2)α2=0．
又因为α1，α2线性无关，且c1≠0，c2≠0．
所以λ=λ1=λ2，这与条件矛盾．故c1α1+c2α2不是A的特征向量．