设A B F都是n阶矩阵且A与B的特征值分别为λ1 λ2 … λn与μ1 μ2 … μn．证明：矩阵方程AX＋XB＋AXB=F有唯一解的充要

大学 2022-06-04 07:09:51 矩阵,特征值,方程已帮助人

设A、B、F都是n阶矩阵，且A与B的特征值分别为λ₁，λ₂，…，λ_n与μ₁，μ₂，…，μ_n．证明：矩阵方程AX+XB+AXB=F有唯一解的充要条件是

λ_i+μ_j+λ_iμ_j≠0 (i，j=1，2，…，n)．

难度★★☆ 搜索

矩阵方程的行拉直方程组的系数矩阵为 $latex.action?latex=QVxvdGltZXMgSStJXG90aW1lcyBCXlQrQVxvdGltZXMgQl5U$ ．它的特征值为λi+μj+λiμj(i，j=1，2，…，n)，由此可得结论．

设A B F都是n阶矩阵 且A与B的特征值分别为λ1 λ2 … λn与μ1 μ2 … μn．证明：矩阵方程AX＋XB＋AXB=F有唯一解的充要