设二元函数f在点P0的某邻域U（P0)内的偏导数fx与fy都有界。证明f在U（Py)内连续。
邻域,导数,函数
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设二元函数f在点P0的某邻域U(P0)内的偏导数fx与fy都有界。证明f在U(Py)内连续。
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因为fx，fy在点P0的某邻域U(P0)内都有界。使|fx(x，y)|≤M，|fy(x，y)|≤M。设(x+Δx，y+Δy)∈U(P0)，则由Lagrange定理可知，θ2∈[0,1)，使
|f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)|≤|f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y+Δy)|
+|f(x，y+Δy)-f(x，y)|
=|fx(x+θ1Δx，y+Δy)||Δx|
+|fx(x，y+θ2Δy)|}|Δy|
则f在U(P0)的任一点连续，即f在U(P0)上连续。