设函数u=u(x y)满足 uxx+uyy+cu=0 (x y)∈Ω 其中常数c<0. 试证明它的解也满足极值原理 即u不能在Ω的内部

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设函数u=u(x,y)满足

  uxx+uyy+cu=0, (x,y)∈Ω,

  其中常数c<0. 试证明它的解也满足极值原理,即u不能在Ω的内部达到正的最大值或负的最小值.

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答案解析

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  • 如果u在点(x0,y0)∈Ω达到正的最大值u(x0,y0)>0,则在该点处uxx≤0,uyy≤0,cu<0. 所以,在点(x0,y0)处,
       uxx+uyy+cu<0,
       这是一个矛盾.同理可以证明u不能在Ω的内部达到负的最小值.证毕.