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证明：（1)R中任意开区间是开集；（2)Rn中点X的任意邻域N（x δ)是开集。

大学 2020-05-26 02:05:23 邻域,中点,区间已帮助人

证明：

(1)R中任意开区间是开集；

(2)Rⁿ中点X的任意邻域N(x，δ)是开集。

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答案解析

难度★★☆ 搜索

(1)设(a，b)是R中任一开区间，任取X∈(a，b)，则a＜＜b
取εx=min{x-a，b-x}，则有
N(x，εx)=(x-εx，x+εx)(a，b)。
所以x是(a，b)内点，由x任意性知命题成立。
(2)只需证明对任意y∈N(x，δ)，存在N(y，ε)，使得N(y，ε)N(x，δ)
设y∈Rn，N(x，δ)={z：ρ(x，z)＜δ}。若y∈N(x，δ)，则 ρ(x，y)＜δ于是ε=δ-ρ(x，y)＞0．设有t∈N(y，ε)，则ρ(y，t)＜ε=δ-ρ(x，y)。于是ρ(x，t)≤ρ(x，y)+ρ(y，t)＜δ。即 t∈N(x，δ)，故N(y，ε)N(x，δ)，从而y是N(x，δ)的内点。由y的任意性知，N(x，δ)是开集。