设正整数的序偶集合A 在A上定义的二元关系R为〈〈x y〉 〈u v〉〉∈R 当且仅当xv=yu 证明：R是一个等价关系．
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设正整数的序偶集合A，在A上定义的二元关系R为〈〈x，y〉，〈u，v〉〉∈R，当且仅当xv=yu，证明：R是一个等价关系．
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对任意〈x，y〉∈A，因为xy=yx，所以〈〈x，y〉，〈x，y〉〉∈R．故R是自反的．
对任意〈x，y〉∈A，〈u，v〉∈A，若〈〈x，y〉，〈u，v〉〉∈R，则xv=yu，即uy=vx，所以〈〈u，v〉，〈x，y〉〉∈R．故R是对称的．
对任意〈x，y〉∈A，〈u，v〉∈A，〈z，ω〉∈A，若〈〈x，y〉，〈u，v〉〉∈R，〈〈u，v〉，〈z，ω〉〉∈R，则xv=yu，uω=vz，将两等式两边分别相乘，由于A是正整数序偶集合，可得xω=yz，即〈〈x，y〉，〈z，ω〉〉∈R．故R是可传递的．
由此证得R是一个等价关系．