设平稳随机过程x(t)的功率谱密度为Px(ω)=(ω2+4)/(ω4+10ω2+9) 求x(t)的自相关函数rx(τ)和平均功率。

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设平稳随机过程x(t)的功率谱密度为Px(ω)=(ω2+4)/(ω4+10ω2+9),求x(t)的自相关函数rx(τ)和平均功率。

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答案解析

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  • 解法Ⅰ:利用留数定理求解rx(τ)。
       
       
       由
         z4+10z2+9=(z2+9)(z2+1)=0
       得Px(ω)的极点为z=±3i,±i,其中3i,i是在上半平面的两个极点,-3i,-i是在下半平面的两个极点。根据留数定理,有
     
     
     
     解法Ⅱ:利用傅里叶变换表求rx(τ)。
     因为
       
       而傅里叶逆变换
       
       所以
       rx(τ)=IFT[Px(ω)]
       
       
       
       下面求x(t)的平均功率。
       因为
       
       而
       
       
       所以