设平稳随机过程x(t)的功率谱密度为Px(ω)=(ω2+4)/(ω4+10ω2+9) 求x(t)的自相关函数rx(τ)和平均功率。
密度,函数,功率
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设平稳随机过程x(t)的功率谱密度为Px(ω)=(ω2+4)/(ω4+10ω2+9),求x(t)的自相关函数rx(τ)和平均功率。
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解法Ⅰ:利用留数定理求解rx(τ)。
由
z4+10z2+9=(z2+9)(z2+1)=0
得Px(ω)的极点为z=±3i,±i,其中3i,i是在上半平面的两个极点,-3i,-i是在下半平面的两个极点。根据留数定理,有
解法Ⅱ:利用傅里叶变换表求rx(τ)。
因为
而傅里叶逆变换
所以
rx(τ)=IFT[Px(ω)]
下面求x(t)的平均功率。
因为
而
所以
