用确界原理证明有限覆盖定理。 即闭区间[α b]的任一开覆盖H都有有限的子覆盖。
定理,区间,原理
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正确答案：①令S={x｜α＜x≤b[αx]能被H中有限个开区间覆盖}； ②显然S有上界因H覆盖闭区间[αb]所以存在一个开区间(αβ)∈H使α∈(αβ)取x∈(αβ)则[αx]能被H中有限个开区间覆盖。从而x∈S故S非空； ③由确界原理存在r=supS； ④现证ζ=b用反证法。 若ζ≠b则α＜ζ＜b由H覆盖闭区间[αb]知一定存在(α1β1)∈H使ζ∈(α1β1)取x1x2使α＜x1＜ζ＜x2＜β1且x1∈S则[αx1]能被H中有限个开区间覆盖把(α1β1)加进去就推得x2∈S。这与ζ=supS矛盾故ζ=b即定理结论成立。
①令S={x｜α＜x≤b,[α,x]能被H中有限个开区间覆盖}；②显然S有上界,因H覆盖闭区间[α,b],所以存在一个开区间(α,β)∈H,使α∈(α,β),取x∈(α,β),则[α,x]能被H中有限个开区间覆盖。从而x∈S,故S非空；③由确界原理存在r=supS；④现证ζ=b,用反证法。若ζ≠b,则α＜ζ＜b,由H覆盖闭区间[α,b]知,一定存在(α1,β1)∈H,使ζ∈(α1,β1),取x1,x2,使α＜x1＜ζ＜x2＜β1,且x1∈S,则[α,x1]能被H中有限个开区间覆盖,把(α1,β1)加进去,就推得x2∈S。这与ζ=supS矛盾,故ζ=b,即定理结论成立。