设幂级数∑n=0∞anxn与∑n=0∞bnxn的收敛半径分别为R1与R2 则幂级数∑n=0∞（an＋bn)xn的收敛半径为多大？
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设幂级数∑n=0∞anxn与∑n=0∞bnxn的收敛半径分别为R1与R2，则幂级数∑n=0∞(an+bn)xn的收敛半径为多大？
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设幂级数∑n=0∞(an+bn)xn的收敛半径为R，则R与R1，R2之间的关系为R≥min{R1，R2}．
(1)当R1≠R2，不妨设R2＞R1时，在(-R1，R1)内，∑n=0∞anxn与∑n=0∞bnxn都收敛，由级数的性质，∑n=0∞(anxn+bnxn)=∑n=0∞(an+bn)收敛；在(-R2，-R1)与(R1，R2)内，∑n=0∞anxn发散，∑n=0∞bnxn收敛，所以级数∑n=0∞(an+bn)xn发散．由于幂级数的收敛域一定是区间．所以∑n=0∞(an+bn)xn的收敛半径为R1，此时R=min{R1，R2)．
(2)当R1=R2时，在(-R1，R1)内，两幂级数都收敛，从而∑n=0∞(an+bn)xn也收敛，而在(-∞，-R1)与(R1，+∞)内，由于∑n=0∞anxn，∑n=0∞bnxn都发散，那么∑n=0∞(an+bn)xn在其内有可能收敛，也有可能发散．
如∑n=0∞xn与∑n=0∞nxn收敛半径都为1，它们的和∑n=0∞(1+n)xn的收敛半径也为1．而∑n=0∞(1+2n)xn收敛半径为0，∑n=0∞(-2n)xn收敛半径也为0．但∑n=0∞(1+2n-2n)xn=∑n=0∞xn收敛半径为1．