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设f（x)=∑n=0∞anxnx∈（－R R) 证明：若f（x)为奇函数 则级数∑n=0∞anxn中仅出现奇数次幂的项；若f（x)为偶函数 则级

大学 偶函数,级数,函数 已帮助 人

设f(x)=∑n=0∞anxnx∈(-R，R)，证明：若f(x)为奇函数，则级数∑n=0∞anxn中仅出现奇数次幂的项；若f(x)为偶函数，则级数∑n=0∞anxn中仅出现偶数次幂的项．

热搜：什么是二分法?用二分法求f(x)=0的根,f要满足什么条件?

答案解析

难度★★☆ 搜索

  • 对任意的x∈(-R，R)，-x∈(-R，R)，此时，
       f(-x)=∑n=0∞an(-x)n=∑n=0∞(-x)nanxn
       当f(x)为奇函数时，f(-x)=-f(x)，即
       ∑n=0∞(-1)nanxn=-∑n=0∞anxn=∑n=0∞(-an)xn
       比较同幂次系数可得(-1)nan=-an，当n=2k为偶数时，有a2k=-a2k，即a2k=0，此时级数∑n=0∞anxn中仅出现奇数次幂的项．
       当f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x)，同样比较同幂次项系数有：(-1)nan，=an，当n=2k+1为奇数时，有-a2k+1=a2k+1，即a2k+1=0，此时级数∑n=0∞anxn中仅出现偶数次幂的项．