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证明在共轭梯度法中有φ（x（k＋1))≤φ（x（k)) 若r（k)≠0 则严格不等式成立．

大学 2020-08-20 07:59:55 不等式,梯度,共轭已帮助人

证明在共轭梯度法中有φ(x^(k+1))≤φ(x^(k))，若r^(k)≠0，则严格不等式成立．

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答案解析

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[证明] 在共轭梯度法中
x(k+1)=x(k)+αkp(k+1)
则φ(x(k+1))=φ(x(k)+xkp(k))=φ(x(k))+αk(Ax(k)-b，p(k))+αk2(Ap(k)，p(k))
又因为 $latex.action?latex=zrFfe2t9PVxmcmFjeyhyXnsoayl9LHBeeyhrKX0pfXsoQXBeeyhrKX0scF57KGspfSl9PVxmcmFj%0D%0AeyhiLUF4Xnsoayl9LHBeeyhrKX0pfXsoQXBeeyhrKX0scF57KGspfSl9$
则 $latex.action?latex=z4YoeF57KGsrMSl9KT3Phih4Xnsoayl9KS1cZnJhY3socl57KGspfSxwXnsoayl9KV57Mn19eyhB%0D%0AcF57KGspfSxwXnsoayl9KX0rXGZyYWN7MX17Mn3Ct1xmcmFjeyhyXnsoayl9LHBeeyhrKX0pXnsy%0D%0AfX17KEFwXnsoayl9LHBeeyhrKX0pfT3Phih4Xnsoayl9KS1cZnJhY3sxfXsyfcK3XGZyYWN7KHJe%0D%0AeyhrKX0scF57KGspfSl9eyhBcF57KGspfSxwXnsoayl9KX09z4YoeF57KGspfSktXGZyYWN7MX17%0D%0AMn3Ct1xmcmFjeyhyXnsoayl9LHBeeyhrKX0pXnsyfX17KEFwXnsoayl9LHBeeyhrKX0pfT3Phih4%0D%0AXnsoayl9KS1cZnJhY3sxfXsyfcK3XGZyYWN7KHJeeyhrKX0scl57KGspfSleezJ9fXsoQXBeeyhr%0D%0AKX0scF57KGspfSl9$
由A的正定性和
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故φ(x(k+1))≤φ(x(k))
当且仅当r(k)=0时，φ(x(k+1))=φ(x(k))