设α1 α2 … αn为Rn的一组标准正交基 且存在n阶实矩阵A 使得 (β1 β2 … βn)=(α1 α2 … αn)A 求证:β1 β2 … βn
正交,矩阵,标准
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设α1,α2,…,αn为Rn的一组标准正交基,且存在n阶实矩阵A,使得
(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)A
求证:β1,β2,…,βn也是Rn的一组标准正交基的充分必要条件是A为正交矩阵。
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由(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)A以及α1,α2,…,αn为Rn的一组标准正交基,
可推得:
(β1,β2,…,βn)T(β1,β2,…,βn)=AT(α1,α2,…,αn)T(α1,α2,…,αn)A=ATEA=ATA
显然,当A为正交矩阵时,ATA=E,所以β1,β2,…,βn为标准正交基。
反之,ATA=E,A为正交矩阵。
