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已知（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 且a0＋a1＋a2＋…＋an=126 那么（3x－1x)n的展开式中的常数

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已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=126，那么(3

x
-
1

x
)n的展开式中的常数项为______．

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答案解析

难度★★☆ 搜索

  • 因为（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
    令x=1得：2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an，
    ∵a0+a1+a2+…+an=126，
    ∴2+22+23+…+2n=2(1-2n)1-2=126
    即2n+1=128=27．
    解得n=6．
    所以(3x-1x)n的展开式中的通项为：Cr6?(3x)6-r?(-1x)r=（-1）r36-r?C6r?x6-2r2．
    令6-2r2=0，得r=3．
    所以(3x-1x)n的展开式中的常数项为：（-1）3?33?C63=-540．
    故答案为：-540．