设X Y相互独立 同服从正态分布N（0 σ2) 又 ξ=aX＋bY η=aX－bY
正态分布
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X～N(0，σ2)，Y～N(0，σ2)，故
EX=EY=0，DX=DY=σ2
Eξ=aEX+bEY=0，Eη=aEX-bEY=0
由于X，Y相互独立，所以aX与bY也相互独立，故有
Dξ=a2DX+b2DY=(a2+b2)σ2，
Dη=a2DX+b2DY=(a2+b2)σ2
南协方差的性质知，
cov(ξ，η)=cov(aX+bY，aX-bY)
=a2cov(X，X)-abcov(X，Y)+bacov(Y，X)-b2cov(Y，Y)
=a2DX-b2DY=(a2-b2)σ2，
所以
$当|a|=|b|时，ρξη=0，ξ，η不相关；当|a|≠|b|时，ρξη≠0，ξ，η相关
由于X，Y都服从正态分布且相互独立，ξ，η都是X，Y的线性组合，所以ξ，η都服从正态分布N[0，(a2+b2)σ2]，在正态分布中，不相关与独立是等价的，所以当|a|=|b|时，ξ，η是相互独立的，|a|≠|b|时，ξ，η是不独立的$当ξ，η相互独立时，即a2=b2时，ξ～N(0，2a2σ2)，η～N(0，2a2σ2)，