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（选修4－4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是x=acosφy=3sinφ（φ为参数 a＞0） 直线l的参数方程是x=3＋ty=－

高中 方程,参数,坐标系 已帮助 人

（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是

x=acosφ
y=

3
sinφ
（φ为参数，a＞0），直线l的参数方程是

x=3+t
y=-1-t
（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．

（Ⅰ）求曲线C普通方程；

（Ⅱ）若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+

2π
3
)，C(ρ3，θ+
4π
3
)在曲线C上，求
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
1
|OC|2
的值．

热搜：已知两点坐标求方位角和水平距离

答案解析

难度★★☆ 搜索

  • （Ⅰ）∵直线l的参数方程是x=3+ty=-1-t（t为参数），消去参数t得x+y=2，令y=0，得x=2．
    ∵曲线C的参数方程是x=acosφy=3sinφ（φ为参数，a＞0），消去参数φ得x2a2+y23=1，
    把点（2，0）代入上述方程得a=2．
    ∴曲线C普通方程为x24+y23=1．
    （Ⅱ）∵点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+2π3)，C(ρ3，θ+4π3)在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），B(ρ2cos(θ+2π3)，ρ2sin(θ+2π3))，C(ρ3cos(θ+4π3)，ρ3sin(θ+4π3))在曲线C上，
    ∴1|OA|2+1|OB|2+1|OC|2=1ρ12+1ρ22+1ρ32=14(cos2θ+cos2(θ+2π3)+cos2(θ+4π3))+13(sin2θ+sin2(θ+2π3)+sin2(θ+4π3))
    =14(1+cos2θ2+1+cos(2θ+4π3)2+1+cos(2θ+8π3)2)+13(1-cos2θ2+1-cos(2θ+4π3)2+1-cos(2θ+8π3)2)
    =3+cos2θ-cso(2θ+π3)+cos(2θ-π3)8+3-cos2θ+cos(2θ+π3)-cos(2θ+2π3)6
    =38+36=78．