如何用第一类曲线积分计算柱面的面积？
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如何用第一类曲线积分计算柱面的面积？
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设Σ是一张母线平行于z轴，准线为xOy面上曲线L的柱面的一部分，其高度h(x，y)((x，y)∈L)是一个变量(如下图所示)．现在我们用第一类曲线积分来计算Σ的面积.
在L上插入点M0，M1，M2，…，Mn，把L划分成n个小段，在每一分点处作z轴的平行线，就把Σ分成n条小柱面．当高度函数h(x，y)在L上连续时，可在小弧段上任取一点(ξi，ηi)，用h(ξi，ηi)作为相应的小柱面的高度，从而得到该小柱面面积的近似值ΔAi=h(ξi，ηi)Δsi(i=1，2，…，n)，其中Δsi表示
，
用λ表示n个小弧段的最大长度，取上式右端当λ→0时的极限，得
，
根据第一类曲线积分定义，柱面的面积可以表示为
.