导航：题目详情 | 答案解析 | 相关问题 | 最新问题

利用波矢量k在直角坐标系中的方向余弦cosα cosβ cosγ写出平面简谐波的波动公式并且证明它是三维波动微分方

大学 2021-02-04 04:54:48 余弦,坐标系,谐波已帮助人

利用波矢量k在直角坐标系中的方向余弦cosα、cosβ、cosγ写出平面简谐波的波动公式，并且证明它是三维波动微分方程的解。

热搜：坐标方位角是以什么为标准方向顺时针转到测线的夹

答案解析

难度★★☆ 搜索

沿空间k方向传播的平面简谐波的波动公式为
E=Acos(k·r-ωt)
因为k=x0kx+y0ky+z0kz，r=x0x+y0y+z0z，故
E=Acos[ωt-(kxx+kyy+kzz)]
参考下图，易见有
kx=kcosα，ky=kcosβ，kz=kcosγ

因此
E=Acos[ωt-k(xcosoα+ycosβ+zcosγ)]
为证明上式满足三维波动微分方程
$latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWxeMkV9e1xwYXJ0aWFseF4yfStcZnJhY3tccGFydGlhbF4yRX17XHBhcnRp%0D%0AYWx5XjJ9K1xmcmFje1xwYXJ0aWFsXjJFfXtccGFydGlhbHpeMn09XGZyYWN7MX17dl4yfVxmcmFj%0D%0Ae1xwYXJ0aWFsXjJFfXtccGFydGlhbHReMn0%3D$
分别取上式对x、y、z和t的二次偏导数，即
$latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWxeMkV9e1xwYXJ0aWFseF4yfT0ta14yKGNvc86xKV4yRQ%3D%3D$ $latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWxeMkV9e1xwYXJ0aWFseV4yfT0ta14yKGNvc86yKV4yRQ%3D%3D$
$latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWxeMkV9e1xwYXJ0aWFsel4yfT0ta14yKGNvc86zKV4yRQ%3D%3D$ $latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWxeMkV9e1xwYXJ0aWFsdF4yfT0tz4leMkU%3D$
得到
$latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWxeMkV9e1xwYXJ0aWFseF4yfStcZnJhY3tccGFydGlhbF4yRX17XHBhcnRp%0D%0AYWx5XjJ9K1xmcmFje1xwYXJ0aWFsXjJFfXtccGFydGlhbHpeMn09LWteMihjb3NeMs6xK2Nvc14y%0D%0AzrIrY29zXjLOsylF$
因为cos2α+cos2β+cos2γ=1和 $latex.action?latex=az1cZnJhY3syz4B9e867fT1cZnJhY3vPiX17dn0%3D$ ，所以
$latex.action?latex=XGZyYWN7XHBhcnRpYWxeMkV9e1xwYXJ0aWFseF4yfStcZnJhY3tccGFydGlhbF4yRX17XHBhcnRp%0D%0AYWx5XjJ9K1xmcmFje1xwYXJ0aWFsXjJFfXtccGFydGlhbHpeMn09LVxmcmFje8%2BJXjJ9e3ZeMn1F%0D%0APVxmcmFjezF9e3ZeMn1cZnJhY3tccGFydGlhbF4yRX17XHBhcnRpYWx0XjJ9$